Se si considera un sistema lagrangiano, la sua configurazione è descritta ad ogni istante dagli n valori delle coordinate lagrangiane q_i. Se si definisce un iperspazio ad n dimensioni sui cui assi si rappresentano le n coordinate lagrangiane, allora la configurazione del sistema è individuata in tale spazio da un punto. L'iperspazio così definito è chiamato spazio delle configurazioni.

Al variare del tempo, la configurazione del sistema cambia ed il suo punto rappresentativo si muove nello spazio delle configurazioni tracciando una traiettoria. Il principio di Hamilton stabilisce che il moto del sistema dall'istante t₁ all'istante t₂ è tale per cui l'integrale di linea

(9.1)

è un estremo per tale traiettoria.

Cioè, tra tutti le possibili traiettorie che il punto rappresentativo del sistema può percorrere tra la configurazione 1 corrispondente all'istante t₁ e la configurazione 2 corrispondente all'istante t₂, esso si muoverà lungo quella traiettoria per cui l'integrale (9.1) è estremo.

Consideriamo un insieme di traiettorie nello spazio delle configurazioni che soddisfino a queste condizioni :

• tutte partono dalla configurazione 1 ed arrivano alla configurazione 2
• tutte vengono percorse dal punto rappresentativo del sistema nell'intervallo di tempo D t=t₂-t₁

Queste traiettorie costituiscono un insieme di traiettorie variate sincrone. Possono venir costruite mediante spostamenti virtuali infinitesimi rispetto alla traiettoria effettivamente seguita dal punto rappresentativo nello spazio delle configurazioni. Gli spostamenti virtuali soddisfano infatti i vincoli a cui è sottoposto il sistema ed avvengono in assenza di variazione del parametro temporale.

Rispetto a questo insieme di traiettorie, il principio di Hamilton si può formulare :

(9.2)

dove con d è stata indicata la variazione tra le traiettorie sincrone.

La (9.2) si scrive :

(9.3)

Il primo termine al secondo membro è nullo poiché tutte le traiettorie passano per le configurazioni 1 e 2 agli istanti t₁ e t₂.

Si ottiene così :

(9.4)

Poiché le coordinate q_i sono indipendenti, anche le loro variazioni sono indipendenti e pertanto dovrà essere :

(9.5)

che sono le equazioni di Lagrange.

Si può osservare che il principio di Hamilton è formulato in modo indipendente dalla equazione fondamentale della dinamica. Poiché le equazioni di Lagrange si possono dedurre da tale principio, è possibile costruire la meccanica dei sistemi lagrangiani sostituendo il secondo principio fondamentale della meccanica con il principio di Hamilton.

Esempio 1 : traiettorie variate sincrone

Esempio 2 : geodetiche di una superficie

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