Nella meccanica di Lagrange, la configurazione di un sistema meccanico ed il suo stato dinamico sono descritti in termini delle n coordinate lagrangiane e delle n velocità generalizzate . Le velocità generalizzate sono le derivate prime rispetto al tempo delle coordinate e quindi non sono indipendenti dalle coordinate stesse. Le equazioni di moto di Lagrange sono infatti n equazioni del second'ordine nelle n coordinate q_i.

Nella meccanica di Hamilton, la configurazione e lo stato dinamico di un sistema meccanico sono descritti in termini di 2n coordinate indipendenti costituite dalle n coordinate lagrangiane q_i e dagli n momenti associati p_i.

Per passare dal sistema al sistema si può utilizzare la trasformazione di Legendre. Per illustrare questa trasformazione, si consideri una funzione di una sola variabile f(x) e si supponga che si convessa (f"(x)>0).

Se p è un numero reale, si consideri la funzione :

(16.1)

Si indichi con x(p) il valor massimo di questa funzione definito dalla condizione :

(16.2)

Poichè la f(x) è convessa, il punto x(p) è unico.

Si definisce come trasformata di Legendre della funzione f, la funzione :

(16.3)

Se si ha una funzione di più variabili, la (16.1) diviene :

(16.4)

e la trasformata di Legendre si scrive :

(16.5)

Ritornando la problema del passaggio da a , la trasformata di Legendre della Lagrangiana si scrive :

(16.6)

infatti :

(16.7)

Si riconosce facilmente che la funzione H coincide con la funzione Hamiltoniana del sistema definita nel § 10.

Se si differenziano ambo i membri della (16.6) si ha :

(16.8)

da cui utilizzando le equazioni di Lagrange e la definizione di momento coniugato si ottiene :

(16.9)

ed uguagliando i coefficienti dei termini in dq_i, dp_i e dt si ottiene :

(16.10)

(16.11)

Le (16.10) sono le equazioni canoniche di Hamilton. Costituiscono un sistema di 2n equazioni del primo ordine nelle variabili q_i e p_i e rappresentano le equazioni di moto della meccanica di Hamilton. L'integrale generale di questo sistema contiene 2n costanti d'integrazione arbitrarie. Per determinare un integrale particolare è quindi necessario assegnare i 2n valori iniziali delle coordinate q_i e dei momenti p_i.

La (16.11) stabilisce la relazione esistente tra le derivate parziali rispetto al tempo della Lagrangiana e dell’Hamiltoniana. Avendo dimostrato nel §10 che l’Hamiltoniana si conserva quando la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, dalla (16.11) si deduce che l’Hamiltoniana si conserva quando l’Hamiltoniana stessa non dipende esplicitamente dal tempo.

Poichè l’Hamiltoniana è stata costruita come la trasformata di Legendre della Lagrangiana, la classe dei sistemi meccanici a cui si possono applicare le equazioni di Hamilton coincide con quella dei sistemi lagrangiani.

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